لإيجاد المجال، نبحث عن قيم x التي تجعل الدالة معرّفة في الأعداد الحقيقية. أهم ما يجب فحصه هو نوع الجذر، والتعبير الموجود تحته، وأي مقام في الدالة.
القواعد الأساسية
- الجذر ذو الرتبة الزوجية، مثل الجذر التربيعي أو الرابع: يجب أن يكون ما تحت الجذر أكبر من أو يساوي صفرًا. لذلك نكتب متباينة ونحلها.
- الجذر ذو الرتبة الفردية، مثل الجذر التكعيبي: يقبل أي قيمة حقيقية تحت الجذر. لكن قد تظل هناك قيود أخرى، كوجود مقام لا يجوز أن يساوي صفرًا.
- المقام في أي دالة يجب ألا يساوي صفرًا. وإذا اجتمع أكثر من شرط، فالمجال هو القيم التي تحققها كلها.
مثال محلول: جذر تربيعي
أوجد مجال الدالة f(x) = √(3x − 4).
لأن الجذر تربيعي، يجب أن يكون ما تحته غير سالب:
3x − 4 ≥ 0
بحل المتباينة نحصل على 3x ≥ 4، ومن ثم x ≥ 4/3. إذن مجال الدالة هو [4/3, ∞). نضمّ الطرف 4/3 لأن التعويض به يجعل ما تحت الجذر صفرًا، والجذر التربيعي للصفر معرّف.
إذا كان الجذر في المقام
للدالة g(x) = 1/√(x − 2) نحتاج إلى أن يكون ما تحت الجذر غير سالب، لكن المقام لا يجوز أن يكون صفرًا. لذلك لا يكفي الشرط x − 2 ≥ 0؛ بل يجب أن يكون x − 2 > 0. وعليه فالمجال هو (2, ∞).
طريقة سريعة للتحقق
- حدّد كل جذر زوجي واكتب شرطًا لما تحته.
- استبعد القيم التي تجعل أي مقام صفرًا.
- حل الشروط معًا، ثم اكتب مجموعة القيم الناتجة بالفترات.
تنبيه: الشرط يخص التعبير تحت الجذر، لا قيمة x وحدها؛ فقد تكون x سالبة ويظل الجذر معرّفًا إذا كان ما تحته غير سالب. أما في الجذر التكعيبي فلا نضع شرط عدم السالبية، مع ضرورة فحص بقية أجزاء الدالة.
المصادر والمراجع
