إذا كان مقدار المتجه الأول A ومقدار الثاني B، والزاوية المحصورة بينهما θ، فإن مقدار محصلتهما يُحسب بالعلاقة:
R = √(A² + B² + 2AB cos θ)
توضح هذه العلاقة أن مقدار المحصلة يتأثر بالزاوية، بشرط ثبات مقداري المتجهين. وعندما تتغير الزاوية من 0° إلى 180°، تقل قيمة cos θ من 1 إلى −1، ولذلك يقل مقدار المحصلة تدريجيًا.
أكبر محصلة وأصغر محصلة
- أكبر محصلة: عندما يكون المتجهان في الاتجاه نفسه، أي θ = 0°. عندها R = A + B، لأن المقدارين يُجمعان مباشرة.
- أصغر محصلة: عندما يكون المتجهان في اتجاهين متعاكسين، أي θ = 180°. عندها R = |A − B|، لأن أحد المتجهين يعاكس أثر الآخر. وإذا كان مقدارهما متساويًا، تكون المحصلة صفرًا.
- إذا كانا متعامدين: عند θ = 90°، تكون المحصلة R = √(A² + B²)، وفق نظرية فيثاغورس.
مثال
لنفترض أن مقداري متجهين هما 3 وحدات و4 وحدات. إذا كانا في الاتجاه نفسه، فالمحصلة 7 وحدات. وإذا كانا متعامدين، فمقدارها √(3² + 4²) = 5 وحدات. أما إذا كانا متعاكسين، فمقدارها |4 − 3| = 1 وحدة.
إذن، كلما ابتعد المتجهان عن الاتجاه نفسه واقتربا من التعارض، صغر مقدار المحصلة؛ لأن مساهمة أحدهما في اتجاه الآخر تقل. انتبه إلى أن هذه المقارنة تفترض ثبات مقداري المتجهين، وأن الزاوية المقصودة هي الزاوية بينهما عند وضع ذيليهما عند نقطة واحدة. كما أن مقدار المحصلة لا يحدد اتجاهها؛ فتحديد الاتجاه يحتاج إلى معلومات إضافية عن اتجاه كل متجه.
